La conduction, un moteur universel

Le phénomène de conduction est à l’origine du fait qu’une cuillère plongée dans un liquide chaud devient chaude à son tour.

– Comment la chaleur du thé migre-t-elle dans la cuillère plongée dans la tasse ?
– Par conduction.
– Et pour le courant électrique qui circule dans une lampe ?
– Conduction.
– L’eau souterraine qui s’écoule dans les nappes phréatiques ?
– Conduction.
– Une espèce invasive qui se répand dans une forêt ?
– Conduction, diffusion.
– Les cendres d’un volcan qui voyagent dans l’atmosphère ?
– Conduction, diffusion.
– Un produit chimique qui s’étale dans une mare ou un verre d’eau ?
– Conduction, diffusion, vous dis-je !

Tous ces phénomènes relèvent effectivement de la conduction ou de la diffusion, c’est-à-dire d’un transport de masse ou d’énergie. Une quantité physique est ainsi transportée d’une zone de forte valeur vers une zone de faible valeur.

Mettons en musique la conduction de la chaleur, en reprenant la partition de Joseph Fourier. La température varie dans le temps et dans l’espace mais l’énergie du système est globalement conservée (selon la loi de conservation). Cette propriété de conservation signifie que les flux d’énergie qui entrent dans un volume sont égaux aux flux d’énergie qui en sortent. De plus, la loi de Fourier stipule deux choses : premièrement, la chaleur est conduite d’autant plus vite d’un point chaud vers un point froid que la différence de température entre ces deux points est grande ; deuxièmement, la vitesse de conduction dépend de la conductivité du système. Ces deux lois physiques se traduisent mathématiquement par un système d’équations aux dérivées partielles, dont la température constitue l’inconnue. Ce modèle de base est l’équation de la chaleur.

Et pour la conduction du courant électrique ? L’inconnue est le potentiel électrique, le modèle est basé sur la loi d’Ohm, où l’intensité du courant est proportionnelle à la différence de potentiel : conduction. Pour l’eau souterraine (loi de Darcy), l’espèce invasive, les cendres volcaniques ou le produit chimique (loi de Fick), le modèle mathématique est aussi le même : conduction, diffusion, vous dis-je.

Ainsi, l’analyse mathématique de l’équation de conduction (on dit aussi équation de diffusion) peut s’appliquer à tout phénomène modélisé par une conservation des flux (de masse ou d’énergie) et une loi de type Fourier, où le flux est proportionnel aux variations de la quantité étudiée et va du plus vers le moins. La partition musicale est la même, mais il faut la compléter selon le cas d’étude. En effet, il faut préciser ce qui se passe au bord du système et ce qui se passe au début de l’expérience. Il faut aussi déterminer la conductivité du système, qui peut varier en temps et en espace, en utilisant des méthodes mathématiques associées à des mesures physiques. Le modèle générique est ainsi complété et on peut jouer le morceau de musique : on lance des simulations sur ordinateur, on obtient des résultats, qu’on valide, analyse et compare à des mesures. Ces simulations servent à faire des prédictions, aident à prendre des décisions, etc.

Très souvent, la conduction n’est pas le seul phénomène physique à prendre en compte dans le modèle. Il faut parfois ajouter la convection (de la chaleur par exemple) ou les réactions (chimiques par exemple). Mathématiquement, le modèle générique est alors une équation de convection-diffusion-réaction. Une vraie symphonie !

Brève rédigée par Jocelyne Erhel (Inria Rennes Bretagne Atlantique, projet SAGE).

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