L'imagerie médicale - Brèves de Maths

L’imagerie cérébrale a fortement évolué ces dernières années.

Les mathématiques interviennent dans plusieurs domaines des sciences médicales et notamment celui de l’imagerie, qui englobe des techniques se référant à l’échographie, le scanner, les rayons X ou l’IRM. Le principe qui sous-tend ces techniques est la recherche des causes ayant été à l’origine d’un phénomène, connaissant les effets qu’il engendre. C’est une conception qui est inverse au principe de la causalité introduit par Newton en 1687 dans Philosophiae Naturalis Principia Mathematica et qui consiste à déterminer les effets d’un phénomène en connaissant ses causes. La démarche utilisée dans ce principe inverse consiste à envoyer des signaux (de nature acoustique, électrique, magnétique, électromagnétique, etc.) sur un système et, en analysant les signaux sortants ou réfléchis, en déduire des informations sur ce système. Cette description parait assez simple à comprendre mais les problèmes que l’étude de tels phénomènes génère présentent d’énormes difficultés. Du point de vue mathématique, ces problèmes constituent une classe spécifique qu’on appelle problèmes inverses, à l’instar du principe qui les sous-tend. On rencontre de tels problèmes dans d’autres champs scientifiques, par exemple en sismologie; il s’agit de localiser l’origine d’un tremblement de terre à partir de mesures faites par plusieurs stations sismiques réparties sur la surface du globe terrestre.

Les phénomènes sous-jacents qui transforment ou réfléchissent les signaux entrants sont décrits par des équations différentielles ou aux dérivées partielles. Résoudre ces équations est un problème direct : connaissant ce qui entre (les données) dans la boîte noire que sont les équations, on sait précisément ce qui en sort (les solutions des équations). Ceci peut déjà présenter de sérieuses difficultés, parfois être hors de portée. Quoi qu’il en soit, le problème direct permet de décrire comment les paramètres du modèle se traduisent dans des effets observables et mesurables. Une bonne connaissance du problème direct est donc une première étape fondamentale pour l’étude des problèmes inverses.

Ensuite, grâce aux mesures obtenues sur le phénomène réel, la démarche consiste à approcher au mieux les paramètres qui permettent de rendre compte de ces mesures. Cette détermination, souvent impossible à réaliser de façon analytique, peut être abordée par simulation numérique. Néanmoins, les erreurs ou incertitudes sur les données rendent les problèmes inverses mal posés : il n’est pas sûr qu’il y ait une solution, et s’il y en a une, il y en a peut-être plusieurs ; et dans ce cas, on ne sait pas laquelle décrit la réalité. Pour surmonter cette difficulté, un procédé consiste à incorporer des contraintes supplémentaires qui assurent qu’il existe une et une seule solution.

En combinant des méthodes analytiques et des algorithmes numériques d’optimisation appropriés, on parvient à résoudre ces problèmes avec une bonne approximation conduisant aujourd’hui à des résultats d’imagerie très performants. Ainsi, de tout nouveaux algorithmes ont été récemment mis au point pour l’imagerie médicale dans le cadre de la technique de tomographie par impédance électrique initialement mise en œuvre pour la détection des corrosions dans les pipes-lines. Cette nouvelle approche peut être utilisée en conjonction avec d’autres techniques pour détecter les tumeurs cancéreuses du sein, là où les techniques classiques échouent, et repérer les micro-calcifications avec une résolution spatiale millimétrique.

Brève rédigée par Aboubacar Marcos (Univ. d’Abomey-Calavi, Bénin).

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