D'Alembert et les équations aux différences partielles

Jean-le-Rond d’Alembert (1717-1783).

En 1747, Jean le Rond D’Alembert publie ses Réflexions sur la Cause générale des vents et présente la même année à l’Académie ses Recherches sur la courbe que forme une corde tendue mise en vibration (celle d’un violon par exemple). Quel est le point commun entre ces travaux ? C’est l’outil mathématique que sont les équations aux dérivées partielles. D’Alembert est l’un des premiers savants à les utiliser pour modéliser un problème physique.

Dans son mémoire sur les cordes vibrantes, l’encyclopédiste établit que les petits mouvements d’une corde fixée en ses deux extrémités sont gouvernés par l’équation suivante : $\frac{d^2y}{dt^2}=\frac{d^2y}{dx^2}$ , où t représente le temps, x et y l’abscisse et l’ordonnée des points de la corde (moyennant des hypothèses simplificatrices revenant à supposer égale à 1 la constante de vitesse habituellement présente dans l’équation d’onde).

Plus encore, D’Alembert résout l’équation. Par exemple, dans le cas d’une corde pincée, c’est-à-dire sortie de son état d’équilibre et lâchée sans vitesse initiale, il obtient l’expression suivante pour la solution : $y(t,x)=\frac{1}{2}(\phi(x+t)+\phi(x-t))$ . Ici φ est la fonction qui donne l’allure de la corde à l’instant initial. Il peut donc prévoir les mouvements de la corde : c’est la combinaison de deux ondes de même allure, voyageant en sens inverses.

Cependant, cette expression ne dit pas tout sur la nature de la fonction φ ; celle-ci doit notamment être périodique pour que la corde oscille régulièrement. Quelles sont alors les fonctions φ mathématiquement ou physiquement admissibles ? Cette question est à l’origine d’une controverse importante entre Euler et D’Alembert. Ce dernier pense que la fonction φ doit pouvoir s’exprimer par une seule formule algébrique. Mais la réalité physique ne se laisse pas réduire à de simples formules. Cet obstacle va tourmenter D’Alembert jusqu’à la fin de sa vie et ses nombreuses réflexions sur le sujet vont contribuer à l’évolution de la notion de continuité d’une fonction.

Brève rédigée par : Guillaume Jouve (Université d’Artois).

Brève connexe :

Jean Le Rond D’Alembert : un mathématicien pour la Terre sur Mathématiques pour la Planète Terre.

Pour en savoir plus :

Jean Le Rond D’Alembert, « Recherches sur la courbe que forme une corde tenduë mise en vibration », Histoire de l’Académie des Sciences et des Belles-Lettres de Berlin, année 1747 (1749), p. 214-249.
A. Guilbaud, G. Jouve, « La résolution des équations aux dérivées partielles dans les Opuscules Mathématiques de D’Alembert », Revue d’Histoire des Mathématiques, t. 15, fasc. 1, 2009, p. 5-68.
P. Crépel (coord.), D’Alembert : Mathématicien des Lumières, Culture MATH.

Crédit image : Maurice Quentin de La Tour, via Wikimedia Commons.

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