Adhémar Jean-Claude Barré de Saint-Venant.
C’est à l’âge de 16 ans, en 1813, qu’Adhémar Jean-Claude Barré de Saint-Venant intègre l’École polytechnique. Après quelques années passées au service des Poudres et Salpêtres, il rejoint le service des Ponts et Chaussées. Succédant à Coriolis, il enseigne les mathématiques à l’École Nationale des Ponts et Chaussées. Ses travaux vont de la mécanique à l’hydrodynamique en passant par l’élasticité et l’hydrostatique.
Canal d’irrigation de l’oasis de Tozeur en Tunisie.
En 1871, alors qu’il a 74 ans, Saint-Venant présente dans un compte rendu à l’Académie des Sciences un premier modèle pour les canaux à surface libre. Régi par un système d’équations aux dérivées partielles, car la hauteur et la vitesse de l’eau dépendent à la fois du temps et d’une coordonnée d’espace, ce modèle, connu en France aujourd’hui sous le nom d’équations de Saint-Venant, est appelé shallow water equations dans le monde anglo-saxon car il s’applique à des canaux dont la profondeur est petite (d’où shallow) par rapport à la longueur. Dans ce modèle, tous les points d’une même tranche d’eau verticale se déplacent à la même vitesse horizontale ; l’écoulement est considéré comme filaire ou monodimensionnel.
Le modèle de Saint-Venant est constitué de deux lois de conservation : une équation de conservation de la masse et une équation de conservation de la quantité de mouvement. Ce système possède une propriété remarquable similaire à celle mise en évidence par Bernhard Riemann pour des équations de la dynamique des gaz : certaines quantités, fonctions de la hauteur et de la vitesse de l’eau, se propagent telles des ondes à des vitesses différentes de la vitesse de l’eau le long du canal. Ces quantités sont appelées « invariants de Riemann » et permettent de mieux comprendre l’écoulement de l’eau le long des canaux. Si v est la vitesse du fluide, h sa hauteur et g l’accélération due à la gravité, l’un des invariants de Riemann correspond à une onde qui remonte le courant à la vitesse v- √gh, tandis que l’autre invariant de Riemann correspond à une onde qui descend le courant à la vitesse v + √gh.
Bientôt âgées de 150 ans, les équations de Saint-Venant n’ont pas pris une ride. Elles sont utilisées pour modéliser et analyser nombre de phénomènes liés à l’océanographie côtière ou aux écoulements à faible profondeur, comme les inondations et les ondes de crue, les ruptures de barrage, les ondes de marée et les ressauts.
Brève rédigée par Jean-Michel Coron, LJLL, Université Pierre et Marie Curie (UPMC), Jérôme Le Rousseau, Université d’Orléans, Fédération de Recherche Denis-Poisson.
Crédits images: Bibliothèque de l’École Polytechnique (buste de Saint-Venant) et J.-M. Coron (canal de Tozeur).
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