« Rien ne se perd, rien ne se crée, tout se transforme ». Cette phrase, souvent attribuée au chimiste français André Lavoisier (1743‑1794), serait en fait due au philosophe grec Anaxagore (450 av. J.‑C.). Les principes de conservation sont devenus une des bases de la physique moderne, comme en témoigne le livre La nature de la physique de R. Feynman. Ces principes expriment que certaines quantités (la charge électrique, l’énergie, la matière) restent invariantes au cours de l’évolution d’un système (pour que ce principe soit valide, il faut prendre garde à définir correctement le système en question, et à prendre en compte toutes les sources possibles de transformation). En particulier, la dynamique des fluides est basée en grande partie sur les principes de conservation de la matière et de la quantité de mouvement.
Regardons une partie de l’espace dans laquelle nous cherchons à déterminer l’évolution d’un phénomène tel que l’écoulement de l’eau ou le transport d’un polluant dans le sous-sol, l’évolution de la température et de la vitesse de l’atmosphère, ou encore le devenir d’un courant océanique. Le principe de conservation énonce que la variation entre deux instants successifs de la quantité de matière contenue dans ce volume correspond à la perte de matière qui sera sortie de ce volume et à l’acquisition de celle qui sera entrée. Ces relations de bilans, qui s’appliquent pour tout volume, peuvent se traduire sous la forme d’équations aux dérivées partielles, appelées lois de conservation. C’est l’une des raisons pour laquelle ces dernières sont le sujet de nombreux travaux, tant du point de vue théorique (étude de leurs propriétés), que numérique (pour la mise au point de méthodes d’approximation).
Il est d’ailleurs fondamental que ces méthodes d’approximation respectent les principes de conservation, pas seulement de manière approchée, mais de manière exacte. Les nombreuses méthodes proposées dans la littérature n’ont pas nécessairement toutes cette propriété, et une intense activité de recherche consiste à concevoir de telles méthodes conservatives dans un cadre aussi vaste que possible, par exemple en présence de fortes variations des propriétés du milieu naturel. Les méthodes de volumes finis conduisent souvent à des méthodes conservatives, ce qui explique leur utilisation fréquente en dynamique des fluides.
Nous illustrons ces considérations avec un modèle (très simplifié) de trafic routier : plutôt que de chercher à suivre le mouvement individuel de chaque véhicule, on s’intéresse à la densité moyenne des voitures sur un tronçon d’autoroute sans entrée ni sortie. Nous illustrons une situation où l’on passe brutalement d’un trafic fluide (partie gauche des courbes, densité faible) à un bouchon (partie droite des courbes, densité maximale). Le saut brutal de densité s’appelle un « choc », et l’on observe une « onde de choc » qui se propage au cours du temps de la droite vers la gauche, alors que le véhicules circulent bien de la gauche vers la droite : la position du choc recule. Le modèle conduit à une loi de conservation, et nous comparons deux méthodes de résolution : la courbe bleue correspond à une méthode conservative, la courbe verte à une méthode non-conservative. Si les deux méthodes prédisent les mêmes valeurs de la densité en amont et en aval du choc, elles donnent des positions très différentes de ce choc. L’analyse de cette différence est subtile ; elle tient au fait que le schéma numérique qui produit la courbe verte ne respecte pas la structure conservative de l’équation et ne peut donc pas reproduire correctement les chocs. À titre de comparaison, nous indiquons aussi, sur la courbe rouge, les résultats d’une simulation basée sur un suivi individuel de 30 véhicules. On constate que l’emplacement du bouchon coïncide bien avec celui prédit par la méthode conservative.
Densité de circulation (ordonnée) en fonction de la position sur la route (abscisse). Comparaison de deux méthodes numériques (en bleu et en vert) à une méthode de référence (en rouge).
Ainsi, il est nécessaire de savoir analyser les méthodes d’approximation pour pouvoir distinguer celles qui respectent la structure conservative des équations de celles qui ne le font pas, afin de représenter correctement les phénomènes simulés.
Brève rédigée par Michel Kern (Équipe POMDAPI de l’Inria).
Pour en savoir plus :
- brèves connexes : Sillage d’avion et trafic dans les aéroports, Saint-Venant et les canaux, le trafic routier en équations.
- Randall J. LeVeque, Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems, Cambridge University Press, 2002.
- Rainer Helmig, Multiphase flow and Transport Processes in the Subsurface, Springer, 1997
Crédits images : M. Kern, à partir du logiciel Clawpack de R LeVeque
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