Comment trouver l’équilibre pour une relation stable et durable ?
Le mathématicien espagnol José-Manuel Rey a récemment proposé une description originale de l’évolution des relations amoureuses. Ce travail, publié dans une revue prestigieuse, a connu un certain retentissement par la curiosité qu’il suscitait. Les équations proposées donnent une explication aux mécanismes du «paradoxe de rupture» : si la sincérité de l’engagement ne semble faire guère de doute au début d’une relation amoureuse, force est de constater qu’un grand nombre de couples ne résiste pas au temps. Par ailleurs, l’article de J.-M. Rey soulève aussi des questions mathématiques intéressantes.
Le couple est décrit par une fonction de bien-être 
Le système admet un point d’équilibre : un couple qui produirait exactement ce niveau de bien-être et d’effort serait éternel. Or, cet équilibre est instable : si le bien-être ou les efforts s’écartent un tant soit peu des valeurs idéales… la trajectoire mène le couple à la rupture ! Néanmoins on peut montrer qu’il existe une «courbe stable», composée des points 
Finalement, le modèle de J.-M. Rey suggère l’opportunité de mettre en place des stratégies d’alerte et d’ajustement des efforts, de manière à rester au plus près de la courbe stable… : clef d’une relation harmonieuse ?
Brève rédigée par Thierry Goudon (Inria Sophia Antipolis).
Pour en savoir plus:
- J.M. Rey (2010), «A mathematical model of sentimental dynamics accounting for marital dissolution», PLoS ONE, Vol. 5, No. 3 [En anglais].
- Quand les mathématiques analysent les relations amoureuses : le syndrome de Carole par J.M Rey [En anglais].
- J.M. Gottman, J.D. Murray, C.C. Swanson, R. Tyson, and K.R. Swanson (2002), «The mathematics of marriage: dynamic nonlinear models», A Bradford Book, MIT Press, Cambridge, MA [En anglais].
- P. Lafitte, T. Goudon, «The lovebirds problem: why solve Hamilton-Jacobi-Bellman equations matters in love affair» soumis le 25 janvier 2013 sur HAL [En anglais].
Crédits image :Salomé Benzoni.
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L’amour mathématique ca existe ahah :*
Je suppose que l’on peut trouver ce point d’équilibre à l’aide d’une série de conditions : Si (x(t), c(t)) n’est pas satisfaisant, on s’approche du point d’équilibre en compensant correctement avec l’augmentation ou la diminution d’un facteur, de manière à s’éloigner du point de rupture. On pourrait s’inspirer par exemple d’un algorithme de dichotomie …
On peut ainsi définir une suite dont on calcule la limite en +∞ pour trouver la solution, le point d’équilibre en fonction des facteurs propres à chaque système.
Cette solution me semble relativement simple, donc où est l’embûche ? Laquelle ou lesquelles de ces opérations ne peut (peuvent) être effectuée(s) et pourquoi ?
Attention, la difficulté n’est pas de caracteriser le point d’équilibre, mais de trouver la “variété stable”, qui est une courbe dans le plan (l’espace des phases) $latex (x,c)$: on suppose connu le bien etre initial $latex x0$, a priori tres grand, et on cherche la valeur de la stratégie d effort pour rester sur cette courbe qu conduit au point d’équilbre en temps infini.
En effet on pourrait penser, $latex x0$ étant fixé, a un algorithme de dichotomie pour estimer le niveau d effort (il reste a disposer d’un bon algorithme d’approximation de systemes différentiels pour décrire le comportement en temps long des solutions corrspondantes). Mais il faut envisager des méthodes plus sophistiquées pour traiter des cas ou l effort serait décrit par une variable de type vectoriel et non plus scalaire.