Paysages urbains équilibrés

Pékin vu du ciel

Pékin vu du ciel.

Les villes existent depuis l’aube de l’histoire. Elles se sont de plus en plus développées et, en ce début de 3ème millénaire, constituent l’un des aspects les plus importants du paysage de la planète. Des chercheurs de nombreuses disciplines se sont confrontés à la question de la naissance des structures urbaines, et les modèles mathématiques peuvent aussi contribuer à les appréhender.

Pour donner une idée, supposons que les habitants d’une ville ne se soucient que de deux critères : d’une part, ils ont besoin d’interagir les uns avec les autres, et donc ils aiment bien la proximité avec autrui ; d’autre part, ils veulent avoir de l’espace, et donc n’aiment pas les densités de population trop élevées. Ces deux exigences vont évidemment dans deux directions opposées : si seul le premier argument était pris en compte, tout le monde se concentrerait en un même point. En revanche si on ne prenait que le second, les individus s’éparpilleraient sur toute la campagne.

Optimisation : Si on avait le droit de choisir la forme à donner à une ville, que ferait-on ? Représentons la ville par sa densité de population, et cherchons la meilleure densité. On peut associer à chaque individu un “coût” qui représente par exemple le temps perdu dans les déplacements, l’essence dépensée etc. C’est le “prix à payer” pour interagir avec le reste du monde. On peut supposer pour faire simple qu’il est égal à la distance moyenne aux autres. Ce coût dépendra donc de la position de chacun et de celle de tous les autres, et donc de la densité de la population.

On peut également dire qu’il y a un deuxième coût associé à la densité de population en chaque point. Cette fois-ci le coût représente par exemple le prix de l’immobilier, ou bien mesure à quel point cela nous déplaît d’avoir un petit appartement etc. Il est donc naturel de supposer qu’il augmente si la densité de population  augmente. Le problème serait alors de minimiser le coût total : on fait la somme de ces deux coûts pour chaque citadin, puis on fait la somme sur tous les citadins. On peut alors étudier la densité optimale et, parfois, l’écrire explicitement. Sans surprise, elle sera plus concentrée au centre et plus dispersée autour.

Equilibre : Quelles sont les formes de villes stables ; c’est-à-dire les villes dans lesquelles personne n’a envie de déménager pour baisser son coût ? Il faut trouver une répartition des citadins  telle que la somme du coût d’interaction et du coût de densité donne un coût total constant, de manière à ce que personne n’ait intérêt à changer. Cela est un problème d’équilibre, et on peut aussi en étudier les solutions. Elles existent, parfois sont uniques, mais il y a des exemples d’équilibres multiples sur une ville en forme de cercle, autour d’un lac, et surtout elles ne coïncident pas avec les formes optimales.

Il y a alors plein d’autres questions parmi lesquelles : comment la ville évolue-t-elle en cas de déséquilibre ? Y a-t-il un système de taxes à imposer pour que la configuration optimale devienne stable ?

Brève rédigée par F. Santambrogio (Univ. Paris-Sud) d’après ses travaux en collaboration avec A. Blanchet (Univ. Toulouse 1), G. Buttazzo (Univ. Pise, Italie), G. Carlier (Univ. Paris-Dauphine) et P. Mossay (Univ. Reading, UK).

Pour en savoir plus :

Crédits Images : Nasa issu du site «The Gateway to Astronaut Photography of Earth».

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