Courbe de raccordement d’une voie ferrée.
Les continents sont parcourus par de multiples voies de communication : routes, voies ferrées, canaux. Celles-ci présentent des virages, dont les courbes sont en grande partie des arcs de cercle. Cependant, l’entrée dans ces virages ne peut en aucun cas être un arc de cercle, car la force centrifuge entraînerait à l’évidence le véhicule hors de la trajectoire souhaitée. Le dévers, c’est-à-dire l’inclinaison de la voie vers l’intérieur, ne suffit pas. Il y a donc lieu d’intercaler une courbe de transition, permettant au véhicule de virer progressivement.
L’étude des courbes de raccordement voit le jour avec la construction des lignes de chemin de fer au XIXème siècle. Différentes solutions sont utilisées, telle la juxtaposition d’arcs de cercle de rayon décroissant, avant d’arriver à la solution mathématique de la clothoïde. Celle-ci présente en effet un rayon de courbure variant linéairement suivant la longueur de la courbe.
La clothoïde.
Son nom provient de la mythologie grecque et de la Parque Clotho, qui file les destinées humaines sur sa quenouille. Les fils s’enroulent en traçant une courbe commençant avec un rayon infini (droite) pour finir en spirale autour d’un point (rayon nul). Son étude mathématique part de l’assimilation d’un arc de courbe infiniment petit à un arc de cercle, définissant alors le rayon de courbure. Si celui-ci doit diminuer proportionnellement à la distance parcourue, l’étude conduit à une courbe définie en coordonnées cartésiennes par des intégrales, dites intégrales de Fresnel, découvertes auparavant dans des recherches théoriques en optique. Cela permet une construction approchée qui a été réalisée par le physicien Alfred Cornu, d’où le nom de spirale de Cornu donné parfois à la courbe.
La clothoïde est aujourd’hui utilisée pour le tracé des virages routiers. En revanche, dès la fin du XIXème siècle, les constructeurs de voies ferrées lui ont préféré une cubique, quasiment identique mais plus facile à calculer, puisqu’il s’agit du premier terme de son développement en série (l’approximation étant alors d’ordre cinq). Cette cubique est connue sous le nom de parabole de Nördling, en hommage à l’ingénieur franco-allemand l’ayant le premier proposée à ses collègues en charge des différents chemins de fer européens.
Brève rédigée par : Xavier Lefort (IREM des Pays de la Loire).
Pour en savoir plus : Jean Alias, La Voie Ferrée : techniques de construction et d’entretien, 2e éd., Paris : Eyrolles, 1984.
Crédit images : Xavier Lefort et le site Mathcurve.
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Bonjour,
Merci pour cet article intéressant. J’ai juste remarqué quelque chose : si l’on cherche à ce que la force centrifuge augmente linéairement en fonction du temps, c’est bien alors l’inverse du rayon de courbure (et non le rayon de courbure) qui doit varier linéairement à la distance parcourue. D’autant plus que, partant d’une ligne droite au préalable, le rayon de courbure au départ est infini !