Nuées d’oiseaux

Nuée d’oiseaux dans les îles Shumagins.

Parmi les animaux dits « sociaux », de nombreuses espèces se déplacent de façon collective, parfois de manière très impressionnante. Certaines nuées d’oiseaux sont de véritables spectacles visuels et peuvent regrouper des milliers d’individus. Certains bancs de poissons peuvent en compter encore bien plus. On y observe les mêmes phénomènes d’auto-organisation, qui ne semblent être guidés par aucun individu assurant un rôle de leader.

L’étude de ces phénomènes complexes est à la croisée de la biologie comportementale, de la physique statistique et des mathématiques. Une des problématiques principales est de comprendre comment peuvent se former de telles structures auto-organisées lorsque les individus n’interagissent que localement. L’étude mathématique de tels systèmes s’inspire de celle de la dynamique des gaz, initiée par Ludwig Boltzmann au 19^e siècle : on essaye d’obtenir une équation aux dérivées partielles à partir de la description de l’évolution d’un grand nombre de particules (c’est ce qu’on appelle la théorie cinétique des gaz). Dans les systèmes biologiques, en l’absence de règles comportementales bien déterminées (contrairement au cas de systèmes physiques où les forces entrant en jeu sont connues), on est alors amené à travailler sur des modèles jouets, dans lesquels des règles d’interactions simples sont choisies pour modéliser un type de comportement.

Un de ces modèles, le modèle de Vicsek, se concentre seulement sur une interaction d’alignement : chaque individu se déplace à vitesse constante et son orientation a tendance à s’aligner sur celle de ses voisins. Malgré la simplicité des comportements locaux, des simulations numériques mettent en évidence des phénomènes complexes tels que les transitions de phase : lorsqu’un des paramètres est suffisamment petit, le comportement des individus est désordonné ; si ce paramètre dépasse une valeur seuil, on observe un alignement global de l’ensemble des individus. Ce changement de comportement suivant la valeur du paramètre est appelé transition de phase.

Les mathématiciens peuvent faciliter la compréhension de ces phénomènes en étudiant l’équation satisfaite par la fonction donnant la probabilité de trouver un individu à une position et une orientation données. Cette description s’applique aux situations où un grand nombre d’individus est impliqué. L’existence de transitions de phases s’observe sur les simulations numériques. Dans certaines situations simplifiées, elle a été aussi établie théoriquement, en étudiant le comportement asymptotique des solutions de l’équation. On peut même calculer la valeur du seuil en dessous duquel la répartition des orientations a tendance à s’uniformiser et au-delà duquel une orientation globale émerge.

Brève rédigée par Amic Frouvelle (Univ. Paris-Dauphine) d’après ses travaux avec P. Degond (CNRS et Univ. Toulouse 3) et J.-G. Liu (Duke university).

Pour en savoir plus :

• Une page Wikipédia sur les nuées d’oiseaux (« flocks of birds ») [en anglais].
• P. Degond, A. Frouvelle, et J.-G. Liu (2010), « Macroscopic limits and phase transition in a system of self-propelled particles », Journal of Nonlinear Science, à paraître [En anglais].
• Brèves connexes : « Stabilité de modèles galactiques », « Éruptions, dégazage et croissance de bulles dans les volcans », « Propriétés émergentes en économie ».

Crédits Images : Wikimedia commons.

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